Здесь мы рассмотрим Аттракторы Мартина, также известные как Хопалонги, своего рода орбитальные фракталы. Это изображения простой двумерной итерационной системы. Название Хопалонг происходит от того факта, что такое изображение состоит из точек, прыгающих по эллиптическому пути, начиная с одной точки в центре. Орбиты хопалонга были обнаружены Барри Мартином из Астонского университета, Бирмингем, Англия. А. К. Дьюдни представил хопалонги в журнале "Scientific American" (1986), а в Германии они стали известны, потому что были упомянуты в журнале "Spektrum der Wissenschaft".
Этот эксперимент генерирует фракталы, которые генерируются путем многократного применения математического правила для получения бесконечной последовательности двумерных (x, y) точек. Мы всегда начинаем нашу последовательность в начале координат плоскости, то есть в точке (x0, y0) = (0, 0). Оттуда мы применяем математическое правило к последней точке и шаг за шагом генерируем следующую. Мы называем последнюю созданную точку (xn, yn) и говорим, что она была создана после n шагов. Чтобы получить следующую точку, т.е. (xn + 1, yn + 1), мы используем правило:
где sign () возвращает знак (-1, 1 или, 0) xn и свободных переменных a, b и c, которые мы выбираем в начале и сохраняем фиксированными для последовательности. Форма фрактала в первую очередь зависит от выбора этих переменных. Создавая одну точку за другой, мы можем представить себе функцию прыжка по траектории фрактала (что дало ему имя Хопалонг).
В следующем примере мы выбрали a = -11, b = 0,05, c = 0,5:
