Уроки, алгоритмы, программы, примеры

Вход на сайт

Материалы по разделам

Построения
на плоскости (2D)
Графика
в пространстве (3D)
Вычислительная
геометрия
Физическое
моделирование
Фрактальная
графика

Новые комментарии

Здравствуйте, Ильгиз. Математика - царица наук (Карл Гаусс). Изучение математики начинается с детского сада, когда нас учат считать и выполнять простые арифметические операции. Любой, даже самый простейший алгоритм будет связан с арифметическими...
Я хотел узнать математика это обязательно в программирование. Пять лет назад просто из любопытства я увлекся HTML потом изучил CSS и JvaScript потом изучил PHP и Java. Как то не задумывался и начал смотреть форумы и узнал что без математики не...
Все верно, но так же необходимо зайти в: Компоновщик -> Ввод -> Дополнительные зависимости Здесь необходимо нажать изменить и в Дополнительные зависимости прописать это: SDL2.lib SDL2main.lib SDL2test.lib Без этого не заработает. (MVS 2015)
Спасибо за реализацию, она действительно быстрая. Но не все линии отрисовывает в нужную сторону... Необходимо добавить проверку для случая X-линии if(y1 "<" y0) grad=-grad; и аналогично для Y-линии if(x1 "<" x0) grad=-grad; P.S. На...
Отличные уроки(учу GL по ним), только в renderScene нужно добавить очистку буфера цвета и буфера глубины. При изменении размеров треугольники размножаются)

Счетчики и рейтинг

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru

Кривые Безье

Кривые Безье используются в компьютерной графике для рисования плавных изгибов, в CSS-анимации и много где ещё.
Несмотря на «умное» название – это очень простая штука.
В принципе, можно создавать анимацию и без знания кривых Безье, но стоит один раз изучить эту тему хотя бы для того, чтобы в дальнейшем с комфортом пользоваться этим замечательным инструментом. Тем более что в мире векторной графики и продвинутых анимаций без них никак.

Виды кривых Безье

Кривая Безье задаётся опорными точками.
Их может быть две, три, четыре или больше. Например:
По двум точкам:

По трём точкам:

По четырём точкам:

Если вы посмотрите внимательно на эти кривые, то «на глазок» заметите:

  1. Точки не всегда на кривой. Это совершенно нормально, как именно строится кривая мы рассмотрим чуть позже.
  2. Степень кривой равна числу точек минус один. Для двух точек – это линейная кривая (т.е. прямая), для трёх точек – квадратическая кривая (парабола), для четырёх – кубическая.
  3. Кривая всегда находится внутри выпуклой оболочки, образованной опорными точками:

Благодаря последнему свойству в компьютерной графике можно оптимизировать проверку пересечений двух кривых. Если их выпуклые оболочки не пересекаются, то и кривые тоже не пересекутся.
Основная ценность кривых Безье для рисования – в том, что, двигая точки, кривую можно менять, причём кривая при этом меняется интуитивно понятным образом.
После небольшой практики становится понятно, как расположить точки, чтобы получить нужную форму. А, соединяя несколько кривых, можно получить практически что угодно.
Вот некоторые примеры:

Математика

У кривых Безье есть математическая формула.
Как мы увидим далее, для пользования кривыми Безье знать её нет особенной необходимости, но для полноты картины – вот она.

Координаты кривой описываются в зависимости от параметра t⋲[0,1]

  • Для двух точек:
  • P = (1-t)P1 + tP2

  • Для трёх точек:
  • P =(1−t)2P1 + 2(1−t)tP2 + t2P3

  • Для четырёх точек:
  • P = (1−t)3P1 + 3(1−t)2tP2 +3(1−t)t2P3 + t3P4

Вместо Pi нужно подставить координаты i-й опорной точки (xi, yi).
Эти уравнения векторные, то есть для каждой из координат:

  • x = (1−t)2x1 + 2(1−t)tx2 + t2x3
  • y = (1−t)2y1 + 2(1−t)ty2 + t2y3

Вместо x1, y1,x2, y2, x3, y3 подставляются координаты трёх опорных точек, и в то время как t пробегает множество от 0 до 1, соответствующие значения (x, y) как раз и образуют кривую.
Впрочем, это чересчур наукообразно, не очень понятно, почему кривые именно такие, и как зависят от опорных точек. С этим нам поможет разобраться другой, более наглядный алгоритм.

Рисование «де Кастельжо»

Метод де Кастельжо идентичен математическому определению кривой и наглядно показывает, как она строится.

Алгоритм построения кривой по «методу де Кастельжо»:

  1. Рисуем опорные точки. В примере выше это 1, 2, 3.
  2. Строятся отрезки между опорными точками 1 → 2 → 3. На рисунке выше они коричневые.
  3. Параметр t пробегает значения от 0 до 1. В примере выше использован шаг 0.05, т.е. в цикле 0, 0.05, 0.1, 0.15, ... 0.95, 1.

Для каждого из этих значений t:

  • На каждом из коричневых отрезков берётся точка, находящаяся от начала на расстоянии от 0 до t пропорционально длине. Так как коричневых отрезков – два, то и точек две штуки.
  • Например, при t=0 – точки будут в начале, при t=0.25 – на расстоянии в 25% от начала отрезка, при t=0.5 – 50%(на середине), при t=1 – в конце отрезков.

  • Эти точки соединяются. На рисунке ниже соединяющий их отрезок изображён синим.
  • На получившемся отрезке берётся точка на расстоянии, соответствующемt. То есть, для t=0.25 (первый рисунок) получаем точку в конце первой четверти отрезка, для t=0.5 (второй рисунок) – в середине отрезка. На рисунках выше эта точка отмечена красным.
  • По мере того как t пробегает последовательность от 0 до 1, каждое значение t добавляет к красной кривой точку. Совокупность таких точек для всех значений t образуют кривую Безье.

Это был процесс для построения по трём точкам. Но то же самое происходит и с четырьмя точками.
Алгоритм:

  • Точки по порядку соединяются отрезками: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4. Получается три коричневых отрезка.
  • На отрезках берутся точки, соответствующие текущему t, соединяются. Получается два зелёных отрезка.
  • На этих отрезках берутся точки, соответствующие текущему t, соединяются. Получается один синий отрезок.
  • На синем отрезке берётся точка, соответствующая текущему t. При запуске примера выше она красная.
  • Эти точки описывают кривую.

Этот алгоритм рекурсивен. Для каждого t из интервала от 0 до 1 по этому правилу, соединяя точки на соответствующем расстоянии, из 4 отрезков делается 3, затем из 3 так же делается 2, затем из 2 отрезков – точка, описывающая кривую для данного значения t.
Так как алгоритм рекурсивен, то аналогичным образом могут быть построены кривые Безье и более высокого порядка: по пяти точкам, шести и так далее. Однако на практике они менее полезны. Обычно используются 2-3 точки, а для сложных линий несколько кривых соединяются. Это гораздо проще с точки зрения поддержки и расчётов.