Уроки, алгоритмы, программы, примеры

Вход на сайт

Материалы по разделам

Построения
на плоскости (2D)
Графика
в пространстве (3D)
Вычислительная
геометрия
Физическое
моделирование
Фрактальная
графика

Новые комментарии

Выдаёт ошибку glut32.dll не найден! При том, что он лежит в System32! Всё решил) Нужно отправить не в System32, а в System.
Спасибо за статью. Я не Ваш студент. Но мне она помогла написать функцию для Канторова множества на Python для черепашки: import turtle def kanter(x, y, d):     if d > 1:         turtle...
Как реализовать в данном примере границы расчёта?

Счетчики и рейтинг

Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика

Общая информация
Эрмитова интерполяция - метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.

В отличие от интерполяции Ньютона, эрмитова интерполяция строит многочлен, значения которого в выбранных точках совпадают со значениями исходной функции в этих точках, и производные многочлена в данных точках совпадают со значениями производных функции (до некоторого порядка m). Это означает, что n(m + 1) величин

должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем n(m + 1) − 1, максимальная степень многочлена Ньютона же равна n − 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае многочлен будет иметь степень N − 1, где N - число известных значений.)

Многочлен Эрмита единственный, это следует из однозначности его построения.

Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита равен:
Rn(x)=f(x)-Hn(x)=f(n+1)(ξ)*(x-x0)N0*...*(x-xm)Nm/(n+1)!, где ξ∈[x0,xm]

Алгоритм построения
Для примера построим интерполяционный многочлен 3 степени:
Пусть нам заданы точки x0, x1, значение функции в этих точках f(x0)=y0, f(x1)=y1, а также значение производных в точках f'(x0)=y'0 и f'(x1)=y'1.
Общий вид многочлена H3(x)=p00(k)*y0+p01(k)*y1+p10(k)*y'0+p11(k)*y'1 (1), где p- многочлены 3 степени, k∈[x0,x1].
Исходя из того, что p- многочлены 3 степени и зная значение функции в точках и её производные в этих точках находим выражение для многочленов p и подставляем их в (1), получаем:
H3(x)=(1-3*k2+2*k3)*y0+(3*k2-2*k3)*y1+(k-2*k2+k3)*y'0+(-k2+k3)*y'1.

Если нам необходимо построить многочлен по большему количеству точек, то мы строим его по частям- для каждой пары x'ов (пары:(x0,x1),(x1,x2),...,(xi,xi+1),...,(xn-1,xn), i от 0 до n-1.

Аналогичным образом определяется многочлен любой степени.
При добавлении значений производных (до некоторого порядка m) в точках добавляются дополнительные слагаемые.
Точность растет с увеличением количества известных значений производных в точках.