Фрактал Ньютона

Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения f(z)=0 алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости. Для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных. Поясним суть этого метода.

Пусть нам задана функция f(x), для которой известно приближенное значение ее корня x₁, а также значение функции в этой точке f(x₁) и значение её первой производной f '(x₁). Тогда, проводя касательную к графику функции f(x) в этой точке и определяя ее пересечение с осью Ox, мы получим уточненное положение корня x₂.

Т. к. уравнение касательной к f(x) в точке x₁ выглядит следующим образом:

y=f '(x₁)(x-x₁)+f(x₁),

то, приравнивая y нулю, получаем, что уточненное значение корня x₂ связано с предыдущим значением x₁ соотношением

x₂=x₁-f(x₁)/f '(x₁)

Беря теперь значение x в качестве приближенного и повторяя эту процедуру, находим следующее приближение корня x₃ и т.д. При некоторых условиях эта последовательность сходится к корню уравнения f(x)=0. Рассмотрим теперь комплексный случай. Рассмотрим уравнение f(z)=0 и последовательность

z_n+1=z_n-f(z_n)/f '(z_n)

Пусть f(z)=z³-1. Как известно, это уравнение имеет три корня ω₁, ω₂, ω₃. При выборе различных z₀ процесс будет сходится к различным корням. Обозначим эти области притяжения через A(ω_i)={z₀ | z_n→ω_i}. Артур Кэли поставил задачу описания областей A(ω_i). Оказывается границы этих областей имеют фрактальную структуру.