Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой:

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой ( т.е. вектора, перпендикулярного прямой ). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси ОY .

При В≠0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у₀ ) и не параллельной оси OY, имеет вид:

у – у₀ = m ( x – х₀ ) ,
где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А≠0, В≠0 и С≠0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х₁, у₁ ) и ( х₂, у₂ ):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у₀ ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b ) :

Условие параллельности прямых:
1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AE – BD = 0 ,
2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m = p .

Условие перпендикулярности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AD + BE = 0 ,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : mp = – 1 .

Расстояние между двумя точками ( x₁, y₁ ) и ( x₂ , y₂ ) :

Расстояние от точки ( х₀ , у₀ ) до прямой Ах+ Ву+ С = 0 :

Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 :

Угол α между прямыми: