Фрактал Висекка, также известный как снежинка Виссека – фрактал, возникающий из конструкции, подобной конструкции ковра Серпинского, предложенной Томасом Висекком, является одним из двух коробочных фракталов. Он имеет приложения, в том числе пересекающиеся с компактными антеннами, особенно в сотовых телефонах. На данном рисунке изображен фрактал на пятой итерации.
Рассмотрим следующее понятие.
Фрактальная коробка - это фрактал, который также называется кривой антикреста, которую можно построить, используя переписывание строк, начиная с ячейки [1] и итерируя правила
При построении сглаженных по углам квадратов получаем следующий рисунок
Есть два варианта построения фрактала
1. Построение с удалением угловых квадратов
Разбиваем основной квадрат на девять меньших квадратов в сетке 3 на 3. Четыре квадрата по углам и средний квадрат оставлены, остальные квадраты удалены. Процесс повторяем рекурсивно для каждой из пяти оставшихся подзаголовков. Фрактал Висекка – это набор, полученный на пределе этой процедуры.
2. Альтернативная конструкция. Построение с удержанием угловых квадратов.
Алгоритм для этой фигуры состоит в том, чтобы удалить четыре угловых квадрата и оставить средний квадрат и квадраты сверху, снизу, слева и справа от него. Две конструкции создают идентичные предельные кривые, но одна повернута на 45 градусов относительно другой.
Свойства
1. Контур прямоугольного фрактала может быть закодирован как система Линденмайера с исходной строкой «FFFF», правилом перезаписи строк «F» -> «F-F+F+FF» и углом 90 градусов (Дж. Апдайк, Перл. Комм., 26 октября 2004 г.).
2. Подсчитаем количество черных и белых ящиков. Рассмотрим следующие последовательности:
Nn – число черных ящиков, которое растет таким образом: 1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625,
Ln - длина стороны белого ящика, и
An – дробная область черных ящиков после n итераций.
Тогда можно вывести уравнения и размерность этого фрактала
Nn=5n
Ln=3-n
An=Ln2Nn=(5/9)n
dcap = -limn->∞(lnNn/lnLn) = log35= ln5 / ln3 = 1,464973521...
Фрактал Висекка обладает удивительным свойством: у него есть нулевая область, но бесконечный периметр, из-за его нецелочисленного измерения. На каждой итерации четыре квадрата удаляются для каждых пяти сохраненных, то есть на итерации n площадь равна (5/9)n. (Предполагая начальный квадрат длины стороны 1). Когда n приближается к бесконечности, площадь приближается к нулю. Однако периметр равен 4*(5/3)n, потому как каждая сторона делится на три части, а центральная заменяется тремя сторонами, что дает увеличение от трех до пяти. При увеличении n периметр приближается к бесконечности.
3. Границей фрактала Висекка является квадратичная кривая Коха 1-го типа.
4. Существует трехмерный аналог фрактала Висекка. Он строится путем деления каждого куба на 27 меньших и удаления всех, кроме «центрального креста», центрального куба и шести кубов, касающихся центра каждой грани. Его размерность Хаусдорфа равна ≈ 1,7712. На данном изображении - 3-мерная модель фрактал размерности 3.
5. Подобно двумерному фракталу Висекка, 3-ный аналог имеет нулевой объем. На каждой итерации удаляются 7 кубов на каждые 27, что определяет объем (7/27)n на итерации n, и эта величина стремится к нулю при приближении n к бесконечности.
6. Существует бесконечное число сечений, которые дают двумерный фрактал Висекка.
