Теорема Бояйи-Гервина
Пусть P и Q два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники A1,....,An и B1,....,Bn, так что для любого i € (1,...,n) многоугольник Ai конгруэнтен Bi. То есть равносоставлены.
Схема доказательства
Главным фактом, используемым при доказательстве, является транзитивность равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник P равносоставлен Q и многоугольник Q равносоставлен многоугольнику R, то P равносоставлен R. Это утверждение очевидно если рассмотреть разбиение многоугольника Q одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах P→Q и Q→R.
Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой:
Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой.
Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается триангуляция многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.
Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.
