Уроки, алгоритмы, программы, примеры

Вход на сайт

Материалы по разделам

Построения
на плоскости (2D)
Графика
в пространстве (3D)
Вычислительная
геометрия
Физическое
моделирование
Фрактальная
графика

Новые комментарии

Спасибо за реализацию, она действительно быстрая. Но не все линии отрисовывает в нужную сторону... Необходимо добавить проверку для случая X-линии if(y1 "<" y0) grad=-grad; и аналогично для Y-линии if(x1 "<" x0) grad=-grad; P.S. На...
Отличные уроки(учу GL по ним), только в renderScene нужно добавить очистку буфера цвета и буфера глубины. При изменении размеров треугольники размножаются)
как исправить это , сделал все по инструкции
Timer1 - выдает ошибку. Использовал IdleTimer1, работает! unit Unit1; {$mode objfpc}{$H+} interface uses Classes, SysUtils, FileUtil, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, OpenGLContext, GL, GLU; type { TForm1 } TForm1 =...
в коде присутствуют ошибки! // Считываем координаты procedure TForm1.getCoords(Sender: TObject); var j1:longint; begin n:= StrToInt(Edit2.Text); //число точек s1:=Edit1.Text; s2:=''; i := 1; j:=1; k:=0...

Счетчики и рейтинг

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Подробная информация собрать компьютер онлайн у нас на сайте.

Фрактал Ляпунова (также известный как фрактал Маркуса-Ляпунова) — бифуркационный фрактал, порождённый расширением логистического отображения, в котором степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот.

Логистическое отображение является одним из наиболее кратких математических представлений о росте населения. В зависимости от скорости плодовитости, используемой на диаграммах, оно будет генерировать либо нейтральную систему, либо устойчивую колебательную систему, или хаотическую систему. Чтобы определить, какой из этих результатов произойдет, математик Александр Ляпунов разработал значение называемое экспонентой Ляпунова. Это полезный индикатор, потому что, для логистического отображения:
♦ Если экспонента Ляпунова равен нулю, изменение численности популяции является нейтральным: численность популяции остается постоянной, фиксированной точкой.
♦ Если экспонента Ляпунова меньше нуля, популяция становится устойчивой. Чем меньше число, тем быстрее население стабилизируется.
♦ Если экспонента Ляпунова положительна, население станет хаотичным
Ученый Марио Маркус визуализировал экспоненту Ляпунова как показатель перемещения популяции между двумя темпами роста. Таким образом, он создал графическое пространство с одной скоростью роста измеряемой вдоль оси Х и другой вдоль У. Для любой точки (х, у) есть конкретное значение экспоненты Ляпунова, которое описывает поведение популяции. Маркус создал цветовую схему для представления экспоненты. Один цвет представляет положительные значения, а другой – отрицательные и нуль. Второй цвет он представил градиентом от светлого к темному, так что меньшие отрицательные числа светлее, а те, что ближе к нулю – темнее.

  • Рассмотрим изображение. Синий фон отображает все точки, где комбинации темпов изменения на осях Х и У приведут к хаотическому росту численности популяции. "Плавающие" желтые фигурки показывают, где популяция будет стабилизироваться. Чем светлее желтый, тем стабильнее популяция.

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4].

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра - в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фрактальные свойства

Рассмотрим изображение справа, показывающее в увеличенном масштабе участок основного изображения выше. Здесь мы видим несколько фигур, которые повторяются в меньших итерациях.


Увеличение участка Zircon City, демонстрирующее самоподобие

Алгоритм генерации фрактала Ляпунова
  1. Выбрать строку из символов A и B любой нетривиальной длины (например, AABAB)
  2. Построить последовательность S последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
  3. Выбрать точку (a,b) принадлежащую [0,4]Χ[0,4]
  4. Определить функцию rn=a если Sn=A , и rn=b если Sn=B
  5. Принять x0=0.5 и выполнить итерации xn+1=rnxn(1-xn)
  6. Вычислить экспоненту Ляпунова:
  7. Раскрасить точку (a,b) согласно полученному значению λ
  8. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.


в данном случае хаос окрашен в черный цвет, а стабильность в золотистый